Das Ziegenproblem

Die Faszination einer Denk-Illusion

Das sogenannte Ziegenproblem ist eine der bekanntesten Denksport-Aufgaben und ungeheuer faszinierend. Das liegt vermutlich daran, dass die Lösung (bzw. richtige Antwort) für die meisten Menschen das Gegenteil dessen ist, was ihnen ihr gesunder Menschenverstand oder auch ihr mathematisches Empfinden sagen. Wie sich bei näherer Betrachtung herausstellt, liegt das an der oft ungenauen Formulierung der Spielregeln.

Zum ersten Mal las ich in der Ausgabe Nr. 48/2004 der ZEIT von dieser Sache – und mir fiel es anfangs extrem schwer, die richtige Lösung als solche anzuerkennen, also habe ich mich näher damit beschäftigt.

Die Aufgabe

Stellen Sie sich vor, Sie haben in einer TV-Spielshow mitgemacht und können nun den Hauptpreis — ein Auto — gewinnen. Dazu müssen Sie nur raten, hinter welcher von drei Türen sich das Auto verbirgt. Hinter den anderen beiden steht eine Ziege (als Symbol des Verlierens).

Hier ist zunächst klar, dass die Wahrscheinlichkeit, das richtige Tor zu raten, bei 1 zu 2 liegt. Nehmen wir nun an, Sie entscheiden sich für Tor 2. Daraufhin sagt der Showmaster zu Ihnen: "Passen Sie auf, ich zeige Ihnen mal was!" und öffnet Tor 1, hinter welchem eine Ziege zum Vorschein kommt.

Das Ziegenproblem: Ausgangssituation

Das Ziegenproblem: Hinter welchem Tor steht der Gewinn, und wo die Ziegen?

Wechseln oder bleiben?

Der Spielleiter gibt Ihnen nun die Chance, Ihre Wahl noch einmal zu überdenken und ggf. zu Tor 3 zu wechseln. Und das ist die Frage des Rätsels: Erhöhen sich Ihre Chancen, das Auto zu gewinnen, wenn Sie in dieser Situation das Tor wechseln, oder nicht?

Obwohl es in der Spielshow-Praxis selbst keine Rolle spielt, sind für die „theoretische“ Aufgabenstellung und einen mathematischen Lösungsansatz noch folgende Bedingungen wichtig:

  1. Der Showmaster muss immer einen Wechsel anbieten,
  2. hinter der von ihm geöffneten Tür steht immer eine Ziege,
  3. die vom Spielleiter geöffnete Tür ist nicht identisch mit der vom Kandidaten gewählten Tür.

(Herzlichen Dank an Gerhard Keller für den Hinweis zu diesen Bedingungen!)

Tor 2 wurde gewählt, und Tor 1 geöffnet.

Tor 2 wurde gewählt, und der Spielleiter zeigt Ihnen die Ziege hinter Tor 1.

Wechseln ist besser!

Die meisten Menschen folgen ihrer intuitiven Logik, die da lautet: da hinter jeder der beiden verbleibenden Türen das Auto stehen kann, ist es egal; die Chance erhöht sich bei einem Wechsel nicht, sondern beträgt 50%.

Das ist aus der Ausgangssituation heraus auch richtig, aber unter Annahme der o.g. Bedingungen (und in der Spielpraxis*) falsch. Tatsache ist, dass bei einem Wechsel in 2 von 3 Fällen gewonnen wird, die Gewinnchancen bei einem Wechsel der Tür also etwa 66% betragen. Tatsache ist auch, dass dies enorm schwer einzusehen ist.

Mir ging es nicht anders: nach tagelangem Grübeln kam ich zu vielen möglichen Erklärungen, von: „sinnlose Fragestellung“ bis „ungeeignete mathematische Methode für diesen Sachverhalt“ war alles dabei, nur nicht eine einfache, klare Einsicht in die Realität.

Eine solche für den Laien verständlich zu formulieren, haben schon viele Forscher versucht. Im erwähnten ZEIT-Artikel wird berichtet, dies sei jetzt Wissenschaftlern vom Max-Planck-Institut für Bildungsforschung gelungen; und der Sachverhalt wird noch einmal auf deren Weise erklärt. Ich muss aber sagen, dass mich die darin geschilderte Erklärung in keiner Weise überzeugte, ja im Gegenteil erst herausforderte. Schließlich fand ich selbst eine für mich plausible Darstellung, von der ich hoffe, dass sie auch andere Zweifler überzeugt:

Das Ziegenproblem: wechseln ist besser!

Auch wenn es schwer zu begreifen ist: wechseln ist besser.

* In den Fernseh-Shows, die dem Ziegenproblem seinen Namen gegeben haben (im Amerikanischen ist es als das »Monty-Hall-Problem« bekannt, nach dem Showmaster), geht es darum, Produkte im Fernsehen zu bewerben. Die Kandidaten können diese Produkte gewinnen. Es liegt im Interesse des Fernsehsenders, die Produkte seiner Werbekunden möglichst oft und wirksam zu zeigen und zu nennen. Deswegen wird in der tatsächlichen Spielshow der Showmaster immer einen Wechsel anbieten, wenn der Kandidat mit seiner Wahl falsch liegt, womit die o.g. Bedingung der Aufgabenstellung erfüllt ist.

  • Am Anfang stehen die Chancen auf den richtigen Tip 1 zu 2. Vereinfacht ausgedrückt: wahrscheinlich habe ich auf eine Ziege getippt.
  • Der Showmaster öffnet eine Tür. Dahinter steht eine Ziege.
  • Wenn ich nun wahrscheinlich schon eine Ziege getippt habe, und in der geöffneten Tür auch eine Ziege steht, befindet sich das Auto wahrscheinlich hinter dem anderen Tor. Ich werde also wechseln.

Diese Erklärung läßt Statistikern vermutlich die Haare zu Berge stehen, aber für mich ist sie einleuchtend und vor allem: sie stimmt mit der Praxis überein.

Ein Experiment muss her

Diese Gedankenfolge ist — jedenfalls für mich — wesentlich leichter einzusehen, als die Erklärung der o.g. Wissenschaftler. Um auch noch den letzten Zweifel auszuräumen, kam für mich nur ein Experiment in Frage. Dazu habe ich ein kleines Computerprogramm geschrieben, welches den Spielablauf simuliert. Ich stelle es hier allen interessierten Menschen als Download kostenlos zur Verfügung (für die vier wichtigsten Betriebssysteme).

Das Programm berechnet keine Wahrscheinlichkeiten, sondern simuliert den Spielablauf. Dies war mir besonders wichtig, da ich ja gerade der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht traute... Man kann das Programm entweder direkt als Spieler bedienen, d.h. ein Tor wählen, dann wird ein anderes geöffnet usw., oder den Computer allein spielen lassen. In diesem Fall gibt es die Möglichkeit, mal eben schnell 1.000 oder 10.000 Folgen durchspielen zu lassen, und zu sehen, was passiert. Selbstverständlich ist einstellbar, ob der Computer-Kandidat das Tor wechseln soll oder nicht.

Download der Software

Sie können sich die Simulation hier für Ihr Betriebssystem herunterladen. Das Programm ist gepackt (je nach Betriebsystem als zip, dmg oder tar.gz).

Versionsgeschichte

1.3.0 – 12.06.2008

  • Bugfix: Button „Neues Spiel“ war unter bestimmten Umständen nicht klickbar
  • Computersimulation kann jetzt abgebrochen werden
  • Getrennte Binaries für MacOS (PowerPC und Intel)
  • Protokoll kann jetzt mit Ctrl-A (bzw. Befehl-A) komplett markiert werden, um es anschließend per Ctrl-C in die Zwischenablage zu legen
  • Menü jetzt komplett deutschsprachig
  • Kleinere Bugfixes im UI

Ein Lehrstück der besonderen Art

Für mich war das Ziegenproblem deshalb ein ganz besonderes Lehrstück, weil es eindrucksvoll demonstriert, wie falsch es sein kann, seinem „gesunden Menschenverstand“ zu trauen — zumindest, wenn es um Wahrscheinlichkeiten oder ähnliche mathematische Probleme geht. Ebenso deutlich wird, dass man sich z.B. als Programmierer den Gefahren bewußt sein sollte, die durch Annahmen und Erwartungen enstehen könnten.