Andreas Vent-Schmidt, Pabstthum 3a, 16818 Karwe, Telefon: 033925-90710, E-Mail: info@procommerz.de
Diese Seite im Internet: http://www.procommerz.de/wissen/ziegenproblem/index.php
Alle Inhalte sind urheberrechtlich geschützt!
Zum ersten Mal las ich in der Ausgabe Nr. 48/2004 der "ZEIT" vom sogenannten Ziegenproblem. Dabei handelt es sich um ein nur auf den ersten Blick harmloses Rätsel, das es allerdings in sich hat.
Da ich sehr gern Denksportaufgaben löse (oder dies wenigstens versuche ;-), nahm ich mir die Sache vor und geriet alsbald mit mir selbst in Schwierigkeiten...
...aber leider ist die Lösung der allermeisten Menschen falsch. Schlimmer noch: es ist sehr schwer, die korrekte Lösung anzuerkennen, weil diese dem „gesunden Menschenverstand“ und der alltäglichen mathematischen Erfahrung zuwider läuft. Selbst gestandene Mathematiker, ja sogar Nobelpreisträger kommen zur falschen Lösung — und verteidigen diese leidenschaftlich als vermeintlich richtig.
Ausgangssituation: hinter welchem Tor steht das Auto?
Stellen Sie sich vor, Sie haben in einer TV-Spielshow mitgemacht und können nun den Hauptpreis — ein Auto — gewinnen. Dazu müssen Sie nur raten, hinter welcher von drei Türen sich das Auto verbirgt. Hinter den anderen beiden steht eine Ziege (als Symbol des Verlierens).
Hier ist zunächst klar, daß die Wahrscheinlichkeit, das richtige Tor zu raten, bei 1 zu 2 liegt. Nehmen wir nun an, Sie entscheiden sich für Tor 2. Daraufhin sagt der Showmaster zu Ihnen: "Passen Sie auf, ich zeige Ihnen mal was!" und öffnet Tor 1, hinter welchem eine Ziege zum Vorschein kommt.
Der Spielleiter gibt Ihnen nun die Chance, Ihre Wahl noch einmal zu überdenken und ggf. zu Tor 3 zu wechseln. Und das
ist die Frage des Rätsels:
Erhöhen sich Ihre Chancen, das Auto zu gewinnen, wenn Sie in dieser Situation das Tor wechseln, oder nicht?
Obwohl es in der Spielshow-Praxis selbst keine Rolle spielt, sind für die „theoretische“ Aufgabenstellung und einen mathematischen Lösungsansatz noch folgende Bedingungen wichtig:
(Herzlichen Dank an Gerhard Keller für den Hinweis zu diesen Bedingungen! Siehe dazu auch Gerhard Kellers Website zum Ziegenproblem.)
Die meisten Menschen (Die „ZEIT“ spricht von 99%) folgen ihrer intuitiven Logik, die da lautet: da hinter jeder der beiden verbleibenden Türen das Auto stehen kann, ist es egal; die Chance erhöht sich bei einem Wechsel nicht, sondern beträgt 50%.
Auch wenn es schwer zu begreifen ist: wechseln ist besser.
Tatsache ist, daß bei einem Wechsel in 2 von 3 Fällen gewonnen wird, die Gewinnchancen bei einem Wechsel der Tür also etwa 66% betragen. Tatsache ist auch, daß dies enorm schwer einzusehen ist.
Mir ging es nicht anders: nach tagelangem Grübeln kam ich zu vielen möglichen Erklärungen, von: „sinnlose Fragestellung“ bis „ungeeignete mathematische Methode für diesen Sachverhalt“ war alles dabei, nur nicht eine einfache, klare Einsicht in die Realität.
Eine solche für den Laien verständlich zu formulieren, haben schon viele Forscher versucht. Im erwähnten ZEIT-Artikel wird berichtet, dies sei jetzt Wissenschaftlern vom Max-Planck-Institut für Bildungsforschung gelungen; und der Sachverhalt wird noch einmal auf deren Weise erklärt. Ich muß aber sagen, daß mich die darin geschilderte Erklärung in keiner Weise überzeugte, ja im Gegenteil erst herausforderte. Schließlich fand ich selbst eine für mich plausible Darstellung, von der ich hoffe, daß sie auch andere Zweifler überzeugt:
- Am Anfang stehen die Chancen auf den richtigen Tip 1 zu 2. Vereinfacht ausgedrückt: wahrscheinlich habe ich auf eine Ziege getippt.
- Der Showmaster öffnet eine Tür. Dahinter steht eine Ziege.
- Wenn ich nun wahrscheinlich schon eine Ziege getippt habe, und in der geöffneten Tür auch eine Ziege steht, befindet sich das Auto wahrscheinlich hinter dem anderen Tor. Ich werde also wechseln.
Diese Gedankenfolge ist — jedenfalls für mich — wesentlich leichter einzusehen, als die Erklärung der o.g. Wissenschaftler. Um auch noch den letzten Zweifel auszuräumen, kam für mich nur ein Experiment in Frage. Dazu habe ich ein kleines Computerprogramm geschrieben, welches den Spielablauf simuliert. Ich stelle es hier allen interessierten Menschen als Download kostenlos zur Verfügung (für die vier wichtigsten Betriebssysteme).
Das Programm berechnet keine Wahrscheinlichkeiten, sondern simuliert den Spielablauf. Dies war mir besonders wichtig, da ich ja gerade der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht traute... Man kann das Programm entweder direkt als Spieler bedienen, d.h. ein Tor wählen, dann wird ein anderes geöffnet usw., oder den Computer allein spielen lassen. In diesem Fall gibt es die Möglichkeit, mal eben schnell 1.000 oder 10.000 Folgen durchspielen zu lassen, und zu sehen, was passiert. Selbstverständlich ist einstellbar, ob der Computer-Kandidat das Tor wechseln soll oder nicht.
Sie können sich das Spiel hier für Ihr Betriebssystem herunterladen. Das Programm ist gepackt (je nach Betriebsystem als zip, dmg oder tar.gz).
1.3.0 – 12.06.2008
1.2.1 – 01.07.2007
Für mich war das Ziegenproblem deshalb ein ganz besonderes Lehrstück, weil es eindrucksvoll demonstriert, wie falsch es sein kann, seinem „gesunden Menschenverstand“ zu trauen — zumindest, wenn es um Wahrscheinlichkeiten oder ähnliche mathematische Probleme geht. Ebenso deutlich wird, daß man sich z.B. als Programmierer den Gefahren bewußt sein sollte, die durch Annahmen und Erwartungen enstehen könnten.
Dieses empfehlenswerte Büchlein können Sie direkt von hier aus bei Amazon bestellen.
Ich würde mich über Rückmeldungen freuen, wenn mein Programm jemandem hilft, das Ziegenproblem besser zu verstehen. Natürlich bin ich auch für Anregungen und Kritik offen. Übrigens: wenn Sie mehr zu Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerten, Statistik u.v.m. erfahren wollen, ohne ein trockenes Mathebuch wälzen zu müssen, empfehle ich Ihnen "Das Ziegenproblem" von Gero von Randow. Das Buch ist weit mehr, als nur die Darstellung des Ziegenproblems: eine verständliche und unterhaltsame Lektüre — vor allem für Nicht-Mathematiker. Vielleicht können Sie das Wissen dieses Buches bei Ihrem nächsten Besuch am Roulette-Tisch gebrauchen... ;-)
